Modelação por copulação de pontos

Um método singular de modelação de uma superfície 3D, a modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos para dados de pontos dispersos como será visto neste post. A principal contribuição contém dois aspectos: Primeiro, o modelo 3D modelo de uma superfície complexa pode ser reconstruído através da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos. Então os parâmetros do modelo são reconhecidos através de uma Rede Neural Artificial. Para demonstrar a eficiência aplicabilidade do algoritmo, dois grupos de dados de pontos são apresentados, o primeiro grupo é adquirido através de um digitalizador laser portátil que é usado para validar o resultado da reconstrução e o outro grupo é usado em comparação com uma modelação sem copulações. A partir dos resultados a nova abordagem valida a expectativa de que pode modelar as superfícies 3D baseadas na vizinhança espacial da copulação de pontos que coincidam com a complexa superfície real satisfatoriamente que pode ser terminada por não acoplamento da modelação. Ao comparar os mesmos dados da amostra com a modelação sem acoplamento é pode-se ver que reconstrução de precisão da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos é melhor.

1. Introdução

Actualmente a engenharia inversa desempenha um papel essencial nos sistemas de CAD mecânicos e industriais, assim com a engenharia inversa e o modelo CAD os objectos podem ser digitalizados, reconstruídos e representados como modelos vectorizados. Em alguns casos onde os modelos CAD não são existem um amplo esforço é geralmente necessário para identificar um modelo adequado para descrever uma superfície 3D especificada através da engenharia inversa. A obtenção da nuvem de pontos de um objecto é o pré-requisito e mais importante da tarefa de reconstrução do modelo. O digitalizador a laser FastSCAN Cobra da Polhemus com alta precisão é o utilizado para a recolha de nuvem de pontos 3D de superfícies complexas como se vê na IMAGEM01, tendo uma tecnologia de auto posicionamento e orientação em redor do objecto marcado assim como a forma de distribuição do peso que permite o uso em períodos prolongados sem provocar afecções músculo-esqueléticas, na verdade muito trabalho tem sido feito na área da reconstrução da superfícies 3D, e alguns algoritmos foram usados ​​para reconstruir o modelo de um objecto, por exemplo a reconstrução do modelo 3D usando uma rede neuronal pela sua capacidade de aproximação de uma função não-linear. No entanto estas ferramentas matemáticas não são adequadas para reconstruir um modelo para os objectos com superfícies complexas.

Alguns tópicos de investigação sobre modelação no campo de controlo vêm despertar novas ideias para a reconstrução do modelo. Por exemplo funções não-lineares auto-regressivas de médias móveis com entradas exógenas de um modelo NARMAX podem ser apresentadas pela sua facturação e outros, é se usado em casos reais de sucesso de engenharia mecânica como por exemplo na automação e controlo, e outros casos.

Neste Post é se descrito a apresentação da modelação de uma superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos, baseado em modelo NARMAX (Non-linear Auto Regressive Moving Average with eXogenous inputs) e no domínio do tempo. Para provar a eficácia do esquema proposto um grupo de pontos de dados são apresentados para validar o resultado da reconstrução. E o outro grupo de pontos de dados é usado para ser comparado com a modelação não-acoplada para a validação da precisão.

IMAGEM01

IMAGEM01

2. Parte teórica do algoritmo

2.1. Teoria da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos.

O modelo NARMAX é uma expressão de um sistema discreto e é usado para descrever o tempo discreto não-linear de um sistema de controlo não-linear estocástico, podendo o modelo ser o seguinte:

y(t)=f(y(t–1),,y(t–ny),u(t–1),,u(t–nu),e(t-1),,e(t-ne))+e(t)                                                         (1)

Onde y(t), u(t), e(t) é a saída, entrada e o ruído do respectivo sistema, e ny, ne nu são as ordens máximo deles. (…) Poderia ser qualquer combinação de entrada, saída e de ruído. A equação (1) é quando é expressa de uma expressão polinomial, apresenta-se da seguinte expressão:

      m
y(t)=
       0

θmpm(t)+e(t)                                                                                                                    (2)

Onde m é o número de parâmetro desconhecido, θm é o parâmetro que será reconhecido e esses parâmetros são fixos para o sistema específico e pm(t) são os termos em (1).

Em aplicações práticas apenas o termo do processo do modelo é considerado devido ao desconhecimento do termo de ruído no modelo, então a fórmula (1) é simplificada da seguinte expressão:

y(t)=f(y(t–1),,y(t–ny),u(t–1),,u(t–nu))                                                                                      (3)

A equação (3) pode ser considerada como um sistema MISO estocástica não-linear, onde yYR1. A ideia da modelação no sistema de controlo pode ser estendida para a reconstrução 3D de superfície do modelo, deixando assim a seguinte expressão

zk(xi,yi)=f(xi,xi±1,,xi±nx,yj,yj±1,,yj±ny,zk±1,,zk±nz)                                                                 (4)

Aonde a expressão zk(xi,yj) é o valor da coordenada do ponto i do plano XY na direcção x e o ponto j do plano XY na direcção y; i=1,,lx; j=1,…,ly; nx ny, nz são ordens dos pontos próximo de acordo com a direcção x, direcção y e direcção z, respectivamente. Equação (4) é a expressão da superfície 3D no espaço e o valor de z do ponto (xi,yj) no plano XY pode ser considerado como o acoplamento mútuo do ponto (xi,yj) e seus vizinhos.

O trabalho seguinte é reconhecer como os parâmetros do modelo em (4), é sabido que a Rede Neuronal é uma ferramenta de modelação muito eficaz para representar não-linearidades, e o modelo de superfície 3D descrito em (4) tem fortes componentes não-lineares e é muito difícil obter o modelo através de métodos gerais, assim a rede neuronal pode ser treinada num modelo de rede para concluir essa tarefa.

Para se poder tirar as características do modelo de superfície 3D e da taxa de convergência da rede em consideração, podem ser usadas três camadas de rede e um algoritmo retro propagação de aprendizagem podem ser usados. É mostrado na IMAGEM02, Zko sendo a a saída de acoplamento dos outputs e Zk sendo o valor ideal.

IMAGEM02

IMAGEM02

A entrada da rede estão os valores das coordenadas do ponto (xi, yj, zk) no plano xy e seus vizinhos no espaço, e a entrada da mth que está na subcamada pode ser a seguinte:

   i+nx
rm=
  a=i-nx

1wmaxa +

i+ny

b=j-ny

1wmbyb +

k+nz

c=k-nz

1wmczc                                                                                 (5)

Aonde m = 1,2,…,l e l é o número do nó na subcamada e 1Wma, 1Wmb, 1Wmc são os pesos de um tipo-a, tipo-b e do tipo-c do nó na camada de entrada para mth nó na respectiva subcamada, a saída do nó mth na subcamada pode ser:

Sm=f1(rm–θm)                                                                                                                  (6)

Então a entrada do nó na camada de saída pode ser considerado:

     L
r0=
  m=1

2wmSm                                                                                                                                                              (7) 

E a saída da rede pode ser:

zk0(xi,yj)=f2(r0–θ0)                                                                                                                   (8)

Aonde f1, f2 são funções de activação, 2wm é o peso do nó mth na camada superior ao nó da camada de saída, θ0, θm são limites dos nós, todo o objecto da função da rede pode ser

L
J=
p=1

Ep

   L
=
p=1

1/2(||zk-zk0||2)2

    L
=
m=1

1/2(zk-zk0)2                                                                       (9)

Onde L é número de amostras de dados, o peso do algoritmo de retro propagação após o ajuste pode ser o seguinte.

1wma(t+1)=1wma(t)- η1*(j)/(1wma) =   

                                                                                                                                         (10)

                       L
1wma(t) η1**xa*
                   p=1

(-ep *f2´* 2wm)

1wma(t+1)=1wma(t)- η1*(j)/(1wma) =

                                                                                                                                          (11)

                         L
=1wma(t) η1*f´*ya*
                     p=1

(-ep *f2´* 2wm)

1wma(t+1)=1wma(t)- η1*(j)/(1wma) =

                                                                                                                                           (12)

L
=1wma(t) η1*f´*za*
p=1

(-ep *f2´* 2wm)

2.2. O algoritmo de procura do ponto na vizinhança do espaço 3D.

O algoritmo de procura para o ponto próximo no espaço 3D é um algoritmo de optimização baseado numa árvore k-D, em que a matriz multidimensional, por exemplo, k = 3 e as coordenadas 3D do ponto (x, y, z) é a chave do nó na árvore k-D a dividir o espaço de procura. A procura de conjunto de elementos num espaço tridimensional devera ser descrita como a estrutura da árvore k-D a quando do algoritmo de procura da árvore k-D é utilizado, então o vizinho-k mais próximo é construído no espaço 3D com base em árvore k-D.

3. Caso de estudo

IMAGEM03

IMAGEM03

Para demonstração da eficácia do possível esquema apresentado podem ser tomados dois casos como exemplos, e um deles pode se ser comparado com o esquema tradicional de acoplamento pela não-modelação.

IMAGEM04

IMAGEM04

O primeiro grupo de dados de ponto provem da superfície superior de um objecto reaal IMAGEM03, e os dados adquiridos a partir do grupo de um digitalizador a laser fastSCAN Cobra inclui 41707 pontos de amostragem, e a amostragem do segundo grupo de dados de um solido 3D como se vê na IMAGEM 06 que inclui 2448 pontos de amostragem.

IMAGEM05

IMAGEM05

A reconstrução do modelo de dados do primeiro grupo através da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos é mostrado na IMAGEM04, onde nx=ny=nz=5, que são os mesmos dados de treino com a modelação de não-acoplamento para reconstruir o modelo que utiliza o método reconhecimento do mesmo parâmetro e os resultados da reconstrução na seção transversal é mostrada na IMAGEM05. A partir deste tipo de resultados pode-se mostrar que a abordagem com acoplamento da não-modelagem não é óbvia, porque a curvatura deste tipo de superfície é muito variável e é muito difícil para o esquema tradicional do modelo para este tipo de superfícies, mas através da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos pode se ser eficaz.

IMAGEM06

A fim de validar a precisão da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos, o segundo grupo de dados é tomado como comparação, e a reconstrução do modelo da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos é mostrado na IMAGEM07.

IMAGEM07

O esquema de não-acoplamento que foi aplicado para a reconstrução 3D da superfície, foi utilizada para implementar a reconstrução do modelo de dados novamente para o segundo grupo e comparação termina quando as duas abordagens têm a estrutura mesma rede e o mesmo tempo de treino aproximado, sendo que a precisão de reconstrução do modelo de dois regimes com números diferentes de neurónios na camada de pele é mostrada compridamente aos gráficos das IMAGEM06 e a IMAGEM07, onde nx=ny=nz=3 no gráfico da IMAGEM07 da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos.

4. Conclusões

Este trabalho apresenta uma modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos, que pode ser flexivelmente usada para reconstruir modelos CAD com qualquer densidade de pontos e claras nuvens de pontos densas, havendo assim uma maior a precisão do modelo de reconstrução, mas um modelo demasiadamente denso pode reflectir sobre a rapidez da reconstrução do modelo CAD, e que além disso a escolha para as ordens dos vizinhos do ponto 3D de acordo com a direcção x, y e z, respectivamente seja, nx, ny, nz, deve ser adequado e os valores escolhidos não podem muito grandes porque pode ter impacto na velocidade de formação e demasiadamente pequenas que podem influenciar a precisão da reconstrução do modelo. Por uma questão de experiência esses valores são levados de três a oito. Os exemplos de aplicação mostram que a precisão da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos é satisfatória, e o modelo reconstruído pode igualar a superfície do objecto real. Além disso, a taxa de convergência da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos pode ser mais rápida que a modelação não-tradicionais de acoplamento, em que os pontos mais importantes são da modelação da superfície 3D baseada na vizinhança espacial da copulação de pontos adequarem-se à complexidade das superfícies.

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